Решите уравнения: а) √(2^x) · √(3^x) = 36; б) √(8^(x−3)) = ∛(4^(2−x)); в) (2/3)^x · (9/8)^x = 64/27; г) (1/8)√(2^(x−1)) = 4^(−1,25).

а) Объединим множители: \(\sqrt{2^x}\cdot\sqrt{3^x}=6^{x/2}\). Тогда \(6^{x/2}=36=6^2\), поэтому \(x/2=2\), откуда \(x=4\).

б) Представим обе части как степени двойки: \(8^{(x-3)/2}=4^{(2-x)/3}\), то есть \(2^{3(x-3)/2}=2^{2(2-x)/3}\). Приравниваем показатели: \(9(x-3)=4(2-x)\), \(13x=35\), поэтому \(x=35/13\).

в) \(\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{8}\right)^x=\left(\frac{3}{4}\right)^x\), а \(\frac{64}{27}=\left(\frac{3}{4}\right)^{-3}\). Значит, \(x=-3\).

г) Перепишем уравнение с основанием 2: \(2^{-3}\cdot2^{(x-1)/2}=2^{-5/2}\). Тогда \(2^{(x-7)/2}=2^{-5/2}\), откуда \(x-7=-5\) и \(x=2\).

Ответ: а) 4; б) 35/13; в) −3; г) 2.