Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Решите уравнения: А) \(2\cos^2\frac{x}{2}+\sqrt3\cos\frac{x}{2}=0\); Б) \(\sqrt3\sin3x=\cos3x\); В)…Фото задания

Ответ:

А) Обозначим \(t=\cos\frac{x}{2}\). Тогда

\[2t^2+\sqrt3t=0,\qquad t(2t+\sqrt3)=0.\]

Отсюда \(t=0\) или \(t=-\frac{\sqrt3}{2}\).

  1. \(\cos\frac{x}{2}=0\), поэтому \(\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k\), откуда \(x=\pi+2\pi k\).
  2. \(\cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt3}{2}\), поэтому \(\frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\) или \(\frac{x}{2}=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\). Значит, \(x=\frac{5\pi}{3}+4\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{3}+4\pi k\).

Здесь \(k\in\mathbb Z\).

Б) \(\cos3x\neq0\), поскольку при \(\cos3x=0\) левая часть равенства не может быть равна нулю. Делим на \(\cos3x\):

\[\sqrt3\tan3x=1,\qquad \tan3x=\frac1{\sqrt3}.\]

Следовательно, \(3x=\frac\pi6+\pi k\), поэтому

\[x=\frac\pi{18}+\frac{\pi k}{3},\qquad k\in\mathbb Z.\]

В) Используем периодичность и формулу приведения:

\[\cos(2\pi+5x)=\cos5x,\qquad \sin\left(\frac\pi2+5x\right)=\cos5x.\]

Тогда \(3\cos5x=3\), то есть \(\cos5x=1\). Поэтому \(5x=2\pi k\), и

\[x=\frac{2\pi k}{5},\qquad k\in\mathbb Z.\]

Ответ: А) \(x=\pi+2\pi k\), \(x=\frac{5\pi}{3}+4\pi k\), \(x=\frac{7\pi}{3}+4\pi k\); Б) \(x=\frac\pi{18}+\frac{\pi k}{3}\); В) \(x=\frac{2\pi k}{5}\), где \(k\in\mathbb Z\).