Задание 2. 1) Решите уравнение \(\cos2x+3\sin x=1\). 2) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие промежутку \([0;2\pi)\).

Используем формулу \(\cos2x=1-2\sin^2x\):

\[1-2\sin^2x+3\sin x=1.\]

Переносим всё в левую часть:

\[-2\sin^2x+3\sin x=0,\qquad \sin x(3-2\sin x)=0.\]

Так как \(|\sin x|\le1\), уравнение \(\sin x=\frac32\) решений не имеет. Поэтому

\[\sin x=0,\qquad x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.\]

На отрезке \([0;2\pi)\) получаем \(x=0\) и \(x=\pi\). Точка \(2\pi\) не включается.

Ответ: 1) \(x=\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); 2) \(x\in\{0;\pi\}\).