Решите уравнения: а) \(|7x+3|=15\); б) \(5x=|x^2+6|\); в) \(\frac{4x+1}{x-3}=\frac{3x-8}{x+1}\); г) \(x^4+6x^3-17x^2-78x-56=0\).

а) Раскрываем модуль по двум случаям:

\(7x+3=15\), откуда \(7x=12\) и \(x=\frac{12}{7}\).

\(7x+3=-15\), откуда \(7x=-18\) и \(x=-\frac{18}{7}\).

б) Так как \(x^2+6>0\) при любом действительном \(x\), имеем \(|x^2+6|=x^2+6\). Тогда \(5x=x^2+6\), то есть \(x^2-5x+6=0\). Разложим на множители: \((x-2)(x-3)=0\), поэтому \(x=2\) или \(x=3\).

в) Ограничения: \(x\ne3\), \(x\ne-1\). Умножаем обе части на \((x-3)(x+1)\):

\((4x+1)(x+1)=(3x-8)(x-3)\).

Раскрываем скобки: \(4x^2+5x+1=3x^2-17x+24\), откуда \(x^2+22x-23=0\). Корни: \(x=1\) и \(x=-23\). Оба удовлетворяют ограничениям.

г) Подбором корня получаем \(x=-1\); деление многочлена на \(x+1\) даёт \(x^3+5x^2-22x-56\). Этот кубический многочлен имеет корень \(x=4\), а оставшийся множитель равен \(x^2+9x+14=(x+7)(x+2)\). Поэтому \((x+1)(x-4)(x+7)(x+2)=0\).

Ответ: а) \(x=\frac{12}{7},-\frac{18}{7}\); б) \(x=2,3\); в) \(x=1,-23\); г) \(x=-1,4,-7,-2\).