Решите уравнения: а) $C_x^3=2C_x^2$; б) $C_x^{x-2}=15$; в) $C_x^2+C_{x+1}^2=49$; г) $C_8^x=70$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите уравнения: а) $C_x^3=2C_x^2$; б) $C_x^{x-2}=15$; в) $C_x^2+C_{x+1}^2=49$; г) $C_8^x=70$.$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулы сочетаний: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для сочетаний учитываем область определения: $n$ и $k$ — целые числа, $0\le k\le n$.

а) $\frac{C_x^3}{C_x^2}=\frac{x-2}{3}=2$, поэтому $x-2=6$, откуда $x=8$.
б) По свойству симметрии $C_x^{x-2}=C_x^2$. Тогда $\frac{x(x-1)}{2}=15$, то есть $x^2-x-30=0$. Корни — 6 и −5; условию области определения соответствует $x=6$.
в) $C_x^2+C_{x+1}^2=\frac{x(x-1)}2+\frac{x(x+1)}2=x^2$. Значит, $x^2=49$. С учётом области определения $x=7$.
г) Из равенства $C_8^x=70$ и значений сочетаний для верхнего числа 8 получаем $x=4$, так как $C_8^4=70$ (также $C_8^4=C_8^{8-4}$).

Ответ: а) 8; б) 6; в) 7; г) 4.

Решите уравнения: а) \(C_x^3=2C_x^2\); б) \(C_x^{x-2}=15\); в) \(C_x^2+C_{x+1}^2=49\); г) \(C_8^x=70\).