Решите уравнения: а) $C_x^3=A_x^2$; б) $C_x^4=A_x^3$; в) $C_x^4=A_x^3+C_x^3$; г) $0{,}5A_x^4=3(A_{x-1}^3+C_{x-1}^3)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите уравнения: а) $C_x^3=A_x^2$; б) $C_x^4=A_x^3$; в) $C_x^4=A_x^3+C_x^3$; г) $0{,}5A_x^4=3(A_{x-1}^3+C_{x-1}^3)$.$ Фото задания

Решите уравнения: а) $C_x^3=A_x^2$; б) $C_x^4=A_x^3$; в) $C_x^4=A_x^3+C_x^3$; г) $0{,}5A_x^4=3(A_{x-1}^3+C_{x-1}^3)$.

Accepted Answer

Используем формулы $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ и $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$, учитывая область определения каждого выражения.

а) При $x\ge3$: $\frac{x(x-1)(x-2)}6=x(x-1)$. Сокращаем ненулевой множитель $x(x-1)$: $x-2=6$, поэтому $x=8$.
б) При $x\ge4$: $\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24}=x(x-1)(x-2)$. Сокращаем общие ненулевые множители: $x-3=24$, поэтому $x=27$.
в) При $x\ge4$ делим уравнение на $C_x^3$, которое ненулевое: $\frac{C_x^4}{C_x^3}=\frac{x-3}{4}$, а $\frac{A_x^3}{C_x^3}=6$. Получаем $\frac{x-3}{4}=6+1=7$, откуда $x=31$.
г) При $x\ge4$: $A_{x-1}^3=6C_{x-1}^3$, поэтому правая часть равна $21C_{x-1}^3$. Подставим формулы: $\frac12x(x-1)(x-2)(x-3)=21\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}6$. Сокращаем общие ненулевые множители: $\frac{x}{2}=\frac72$, значит, $x=7$.

Ответ: а) 8; б) 27; в) 31; г) 7.

Решите уравнения: а) \(C_x^3=A_x^2\); б) \(C_x^4=A_x^3\); в) \(C_x^4=A_x^3+C_x^3\); г) \(0{,}5A_x^4=3(A_{x-1}^3+C_{x-1}^3)\).

Ответ: