Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
- а) \(|3x+2|=4\) означает \(3x+2=4\) или \(3x+2=-4\). Отсюда \(x=\frac23\) или \(x=-2\).
- б) Модуль не может быть отрицательным, поэтому решений нет.
- в) Модуль равен нулю только тогда, когда его выражение равно нулю: \(x^2+x=x(x+1)=0\). Получаем \(x=0\) или \(x=-1\).
- г) Положим \(y=|x+3|\), где \(y\ge0\). Тогда \(|y-4|=1\), значит, \(y=3\) или \(y=5\). Следовательно, \(|x+3|=3\) или \(|x+3|=5\), откуда \(x=0,-6,2,-8\).
- д) Обозначим \(y=|x-3|\ge0\). Тогда \(|y+3-3|=3\), то есть \(y=3\). Поэтому \(|x-3|=3\), и \(x=0\) или \(x=6\).
- е) \(|10-|x-1||=8\). Обозначив \(y=|x-1|\ge0\), получаем \(|10-y|=8\), откуда \(y=2\) или \(y=18\). Тогда \(|x-1|=2\) или \(|x-1|=18\), поэтому \(x=3,-1,19,-17\).
- ж) По неравенству треугольника \(|x-1|+|x-5|\ge|5-1|=4\), но для любых \(x\) сумма равна расстоянию до концов отрезка и вне отрезка растёт. Если \(1\le x\le5\), сумма равна 4; вне этого отрезка она больше 4. Значит, равенство 18 возможно только вне отрезка: при \(x<1\) сумма равна \(6-2x\), а при \(x>5\) — \(2x-6\). Решая, получаем \(x=-6\) или \(x=12\).
- з) Сумма расстояний от \(x\) до точек 3 и −1 равна 4 ровно при \(-1\le x\le3\); вне этого отрезка она больше 4. Ответ: \([-1,3]\).
- и) Это сумма расстояний от \(x\) до 9 и −1. Между этими точками сумма равна 10, а вне отрезка она больше 10. Значение 8 получить нельзя, решений нет.
- к) Правая часть неотрицательна, поэтому \(x\ge0\). Рассмотрим знаки выражений. При \(0\le x\le\frac23\): \(|3x+2|=3x+2\), и \(|3x-2|=x\), откуда \(3x-2=x\), поэтому \(x=1\), не принадлежащее этому промежутку. При \(x\ge\frac23\): \(|3x-2|=x\), значит, \(3x-2=x\), откуда \(x=1\), что подходит.
Ответ: а) \(x=-2,\frac23\); б) решений нет; в) \(x=-1,0\); г) \(x=-8,-6,0,2\); д) \(x=0,6\); е) \(x=-17,-1,3,19\); ж) \(x=-6,12\); з) \(x\in[-1,3]\); и) решений нет; к) \(x=1\).
