4. Решите уравнения: a) $$3 \cdot 7^{x-1}+2 \cdot 7^{x}-7^{x+2}=826$$ б) $$2 \cdot 4^{x}-9 \cdot 2^{x}+4=0$$.

Решим уравнения:

1. а) $$3 \cdot 7^{x-1}+2 \cdot 7^{x}-7^{x+2}=826$$ $$3 \cdot \frac{7^x}{7} + 2 \cdot 7^x - 7^2 \cdot 7^x = 826$$ $$7^x \left(\frac{3}{7} + 2 - 49\right) = 826$$ $$7^x \left(\frac{3+14-343}{7}\right) = 826$$ $$7^x \cdot \frac{-326}{7} = 826$$ $$7^x = 826 \cdot \frac{-7}{326}$$ $$7^x = -14$$ Уравнение не имеет решений, так как $$7^x$$ всегда положительно.
2. б) $$2 \cdot 4^{x}-9 \cdot 2^{x}+4=0$$ $$2 \cdot (2^2)^{x}-9 \cdot 2^{x}+4=0$$ $$2 \cdot (2^{x})^2-9 \cdot 2^{x}+4=0$$ Пусть $$t = 2^x$$, тогда уравнение примет вид: $$2t^2 - 9t + 4 = 0$$ $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$$ $$t_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9+7}{4} = \frac{16}{4} = 4$$ $$t_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9-7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ Вернемся к замене: $$2^x = 4$$ или $$2^x = \frac{1}{2}$$ $$2^x = 2^2$$ или $$2^x = 2^{-1}$$ $$x = 2$$ или $$x = -1$$

Ответ: а) нет решений; б) $$x=2$$ или $$x=-1$$