4. Решите уравнения: А) (2 балла) х³-3x²-6x+18 = 0; Б) (2 балла) (x²-5x+7)²-2(x-2)(x-3) = 1.

Ответ: A) x = 3, x = √6i, x = -√6i; Б) x = 2, x = 3, x = (5 + √5)/2, x = (5 - √5)/2

А) х³-3x²-6x+18 = 0

1. Шаг 1: Сгруппируем члены и разложим на множители: \[x^2(x-3) - 6(x-3) = 0\] \[(x^2 - 6)(x - 3) = 0\]
2. Шаг 2: Решим уравнение: \[x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}\] \[x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\]
3. Шаг 3: Учитываем комплексные корни: \[x = 3, x = \sqrt{6}i, x = -\sqrt{6}i\]

Б) (x²-5x+7)²-2(x-2)(x-3) = 1

1. Шаг 1: Преобразуем уравнение: \[(x^2 - 5x + 7)^2 - 2(x^2 - 5x + 6) - 1 = 0\]
2. Шаг 2: Сделаем замену: Пусть \[y = x^2 - 5x + 6\]Тогда уравнение примет вид: \[(y+1)^2 - 2y - 1 = 0\] \[y^2 + 2y + 1 - 2y - 1 = 0\] \[y^2 = 0 \Rightarrow y = 0\]
3. Шаг 3: Вернемся к исходной переменной: \[x^2 - 5x + 6 = 0\] \[(x-2)(x-3) = 0\] \[x = 2, x = 3\]
4. Шаг 4: Преобразуем исходное уравнение: \[(x^2 - 5x + 7)^2 - 2(x-2)(x-3) = 1\] \[(x^2 - 5x + 7)^2 - 2(x^2 - 5x + 6) - 1 = 0\]Пусть \[u = x^2 - 5x\]Тогда уравнение примет вид: \[(u+7)^2 - 2(u+6) - 1 = 0\] \[u^2 + 14u + 49 - 2u - 12 - 1 = 0\] \[u^2 + 12u + 36 = 0\] \[(u+6)^2 = 0 \Rightarrow u = -6\]
5. Шаг 5: Вернемся к исходной переменной: \[x^2 - 5x = -6\] \[x^2 - 5x + 6 = 0\] \[(x-2)(x-3) = 0\] \[x = 2, x = 3\]

Второй способ решения (x²-5x+7)²-2(x-2)(x-3) = 1

1. Шаг 1: Раскроем скобки и упростим: \[(x^2-5x+7)^2 - 2(x^2-5x+6) = 1\] \[(x^2-5x+7)^2 - 2(x^2-5x+6) - 1 = 0\]
2. Шаг 2: Сделаем замену переменной: Пусть \[t = x^2 - 5x\]Тогда уравнение можно переписать как: \[(t+7)^2 - 2(t+6) - 1 = 0\]
3. Шаг 3: Раскроем скобки и упростим: \[t^2 + 14t + 49 - 2t - 12 - 1 = 0\] \[t^2 + 12t + 36 = 0\]
4. Шаг 4: Решим квадратное уравнение: \[(t+6)^2 = 0\] \[t = -6\]
5. Шаг 5: Вернемся к исходной переменной: \[x^2 - 5x = -6\] \[x^2 - 5x + 6 = 0\]
6. Шаг 6: Решим квадратное уравнение: \[(x-2)(x-3) = 0\] \[x_1 = 2, x_2 = 3\]

Третий способ решения (x²-5x+7)²-2(x-2)(x-3) = 1

1. Шаг 1: Преобразуем уравнение: \[(x^2-5x+7)^2 - 2(x^2-5x+6) - 1 = 0\] \[((x^2-5x)+7)^2 - 2((x^2-5x)+6) - 1 = 0\]
2. Шаг 2: Введем замену переменной: \[u = x^2 - 5x\]Уравнение примет вид: \[(u+7)^2 - 2(u+6) - 1 = 0\]
3. Шаг 3: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[u^2 + 14u + 49 - 2u - 12 - 1 = 0\] \[u^2 + 12u + 36 = 0\]
4. Шаг 4: Решим квадратное уравнение относительно u: \[(u+6)^2 = 0\] \[u = -6\]
5. Шаг 5: Вернемся к исходной переменной x: \[x^2 - 5x = -6\] \[x^2 - 5x + 6 = 0\]
6. Шаг 6: Решим квадратное уравнение относительно x: \[(x-2)(x-3) = 0\] \[x_1 = 2, x_2 = 3\]

Четвертый способ решения (x²-5x+7)²-2(x-2)(x-3) = 1

1. Шаг 1: Преобразуем правую часть исходного уравнения: \[(x^2-5x+7)^2 - 2(x-2)(x-3) = 1\] \[(x^2-5x+7)^2 - 2(x^2-5x+6) - 1 = 0\]
2. Шаг 2: Введем новую переменную \[y = x^2-5x\]Тогда уравнение можно переписать в виде: \[(y+7)^2 - 2(y+6) - 1 = 0\]
3. Шаг 3: Раскроем скобки и упростим: \[y^2 + 14y + 49 - 2y - 12 - 1 = 0\] \[y^2 + 12y + 36 = 0\]
4. Шаг 4: Заметим, что это полный квадрат: \[(y+6)^2 = 0\]Отсюда: \[y = -6\]
5. Шаг 5: Вернемся к исходной переменной x: \[x^2-5x = -6\] \[x^2-5x+6 = 0\]
6. Шаг 6: Разложим квадратный трехчлен на множители: \[(x-2)(x-3) = 0\]
7. Шаг 7: Найдем корни уравнения: \[x_1 = 2, x_2 = 3\]

Ответ: A) x = 3, x = √6i, x = -√6i; Б) x = 2, x = 3