8. Решите уравнения a) sin x = 1/2; б) cos²x - cosx - 2 = 0; в) 3cos²x - 2sinx + 2 = 0

Решим каждое уравнение по отдельности:

a) sin x = 1/2

Это табличное значение синуса. Решениями являются:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) cos²x - cosx - 2 = 0

Сделаем замену: y = cos x. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 - y - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$$D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

Вернемся к замене:

cos x = 2 - не имеет решений, так как |cos x| ≤ 1.

cos x = -1

$$x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

в) 3cos²x - 2sinx + 2 = 0

Выразим cos²x через sin²x, используя основное тригонометрическое тождество: cos²x = 1 - sin²x

Тогда уравнение примет вид:

$$3(1 - sin^2x) - 2sinx + 2 = 0$$ $$3 - 3sin^2x - 2sinx + 2 = 0$$ $$-3sin^2x - 2sinx + 5 = 0$$ $$3sin^2x + 2sinx - 5 = 0$$

Сделаем замену: y = sin x. Тогда уравнение примет вид:

$$3y^2 + 2y - 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$$D = 2^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 * 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ $$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 * 3} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$$

Вернемся к замене:

sin x = 1

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

sin x = -5/3 - не имеет решений, так как |sin x| ≤ 1.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$