8. Решите уравнения: a) $$sin x = \frac{1}{2}$$ б) $$cos^2x - cos x - 2 = 0$$ в) $$3cos^2x - 2sin x + 2 = 0$$

Решим уравнения:

a) $$sin x = \frac{1}{2}$$

Это табличное значение синуса. Общее решение уравнения имеет вид:

$$x = (-1)^n arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

б) $$cos^2x - cos x - 2 = 0$$

Сделаем замену: $$y = cos x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 - y - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

$$y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

$$y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

Вернемся к замене:

1) $$cos x = 2$$ - нет решений, так как $$|cos x| \leq 1$$

2) $$cos x = -1$$

Это табличное значение косинуса.

$$x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

в) $$3cos^2x - 2sin x + 2 = 0$$

Выразим $$cos^2x$$ через $$sin^2x$$ используя основное тригонометрическое тождество: $$cos^2x = 1 - sin^2x$$

$$3(1 - sin^2x) - 2sin x + 2 = 0$$

$$3 - 3sin^2x - 2sin x + 2 = 0$$

$$-3sin^2x - 2sin x + 5 = 0$$

$$3sin^2x + 2sin x - 5 = 0$$

Сделаем замену: $$y = sin x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$3y^2 + 2y - 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$$

$$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

$$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$$

Вернемся к замене:

1) $$sin x = 1$$

Это табличное значение синуса.

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2) $$sin x = -\frac{5}{3}$$ - нет решений, так как $$|sin x| \leq 1$$, а $$|-\frac{5}{3}| > 1$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$