Решите задачи: Задача 1. Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность, что герб выпадет 3 раза;

Задача 1. Монету бросают 10 раз. Найти вероятность, что герб выпадет 3 раза.

Решение:

В данной задаче мы имеем дело с испытаниями Бернулли, где вероятность успеха (выпадения герба) в каждом испытании постоянна и равна 1/2. Необходимо найти вероятность того, что герб выпадет ровно 3 раза из 10 бросков.

Формула Бернулли имеет вид:

$$P(m) = C_n^m p^m (1-p)^{n-m}$$

где:

• $$P(m)$$ - вероятность наступления события ровно m раз в n испытаниях,
• $$C_n^m$$ - число сочетаний из n по m,
• $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании,
• $$n$$ - общее количество испытаний,
• $$m$$ - количество успехов.

В нашем случае:

• $$n = 10$$ (количество бросков),
• $$m = 3$$ (количество выпадений герба),
• $$p = \frac{1}{2} = 0.5$$ (вероятность выпадения герба в одном броске).

Тогда формула выглядит так:

$$P(3) = C_{10}^3 (0.5)^3 (1-0.5)^{10-3} = C_{10}^3 (0.5)^3 (0.5)^7$$

Считаем $$C_{10}^3$$:

$$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$$

Подставляем в формулу:

$$P(3) = 120 \times (0.5)^3 \times (0.5)^7 = 120 \times (0.5)^{10} = 120 \times \frac{1}{1024} = \frac{120}{1024} = \frac{15}{128} \approx 0.1171875$$

Ответ: $$ \frac{15}{128} \approx 0.1171875$$