Задача 2. Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза?

Решение:

Используем формулу Бернулли для расчета вероятности. В данном случае:

• n = 6 (количество бросков)
• m = 4 (количество выпадений шестерки)
• p = 1/6 (вероятность выпадения шестерки при одном броске)
• q = 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6 (вероятность не выпадения шестерки)

Формула Бернулли имеет вид:

$$P = C_n^m p^m (1-p)^{n-m}$$

где ( C_n^m ) - это количество сочетаний из n по m, которое вычисляется как:

$$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$

В нашем случае:

$$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$$

Теперь подставим значения в формулу Бернулли:

$$P = 15 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{6-4} = 15 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^2$$ $$P = 15 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{25}{36} = 15 \cdot \frac{25}{46656} = \frac{375}{46656} = \frac{125}{15552}$$

Вычислим значение:

$$P \approx 0.00803755$$

Ответ: Вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза из 6, составляет примерно 0.008.