8. Решите задачу и распишите решение. Небольшая шайба находится на вершине гладкой полусферы ради 20 см. Шайбе сообщают начальную скорость 2 м/с, и она начинает соскальзывать. На какой высоте от поверхности земли шайба оторвется от полусферы? Сделайте рисунок к задаче.

Решение:

Изобразим рисунок к задаче:

      _____
     /     \
    /       \
   |         |
   | o       |
   |         |
    \       /
     \_____/
        R

1. Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиус полусферы в момент отрыва: $$ma_n = mg\cos{\alpha} - N$$, где
   • $$m$$ - масса шайбы,
   • $$a_n$$ - нормальное ускорение,
   • $$g$$ - ускорение свободного падения,
   • $$\alpha$$ - угол между вертикалью и радиусом в точке отрыва,
   • $$N$$ - сила реакции опоры.

   В момент отрыва сила реакции опоры равна нулю: $$N = 0$$, тогда $$ma_n = mg\cos{\alpha}$$

2. Нормальное ускорение: $$a_n = \frac{v^2}{R}$$, где
   • $$v$$ - скорость шайбы в точке отрыва,
   • $$R$$ - радиус полусферы.

   Подставим в уравнение: $$m\frac{v^2}{R} = mg\cos{\alpha}$$, $$v^2 = gR\cos{\alpha}$$

3. Запишем закон сохранения энергии для шайбы: $$E_{кин1} + E_{пот1} = E_{кин2} + E_{пот2}$$, $$ \frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgh$$, где
   • $$v_0$$ - начальная скорость,
   • $$R$$ - радиус полусферы,
   • $$v$$ - скорость в точке отрыва,
   • $$h$$ - высота от поверхности земли в точке отрыва.

   Учитывая, что $$h = R\cos{\alpha}$$, получим: $$\frac{v_0^2}{2} + gR = \frac{v^2}{2} + gR\cos{\alpha}$$, $$v_0^2 + 2gR = v^2 + 2gR\cos{\alpha}$$

   Подставим $$v^2 = gR\cos{\alpha}$$, $$v_0^2 + 2gR = gR\cos{\alpha} + 2gR\cos{\alpha}$$, $$v_0^2 + 2gR = 3gR\cos{\alpha}$$, $$\cos{\alpha} = \frac{v_0^2 + 2gR}{3gR}$$

4. Вычислим: $$\cos{\alpha} = \frac{2^2 + 2 \cdot 9.8 \cdot 0.2}{3 \cdot 9.8 \cdot 0.2} = \frac{4 + 3.92}{5.88} = \frac{7.92}{5.88} = 1.347$$, так как $$\|cos{\alpha}\| \le 1$$, то шайба не оторвется от поверхности полусферы. Она будет двигаться по поверхности полусферы, пока не достигнет ее основания.

Ответ: шайба не оторвется от поверхности полусферы, высота равна 0.