Решите задачу: Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 84°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Давайте решим эту задачу вместе. 1. Анализ условия: * У нас есть окружность с центром в точке O. * Из точки, находящейся вне окружности, проведены две касательные к окружности в точках A и B. * Угол между касательными (угол между прямыми, содержащими касательные) равен 84°. * Нам нужно найти угол ABO. 2. Основные свойства: * Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, углы OAO' и OBO' (где O' - точка пересечения касательных) прямые, то есть равны 90°. * Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. 3. Решение: * Рассмотрим четырехугольник AOBO', где O' - точка пересечения касательных. * Сумма углов в этом четырехугольнике: ∠OAO' + ∠AO'B + ∠OBO' + ∠AOB = 360°. * Подставим известные значения: 90° + 84° + 90° + ∠AOB = 360°. * Отсюда, ∠AOB = 360° - 90° - 84° - 90° = 96°. 4. Находим угол ABO: * Рассмотрим треугольник AOB. Он является равнобедренным, так как OA = OB (радиусы окружности). * Следовательно, углы OAB и OBA равны. * Сумма углов в треугольнике AOB: ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°. * Пусть ∠ABO = x, тогда ∠OAB = x. * Подставим известные значения: 96° + x + x = 180°. * 2x = 180° - 96° = 84°. * x = 84° / 2 = 42°. Ответ: 42°