Решите задачу по геометрии. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите CH, если AH = 18, BC = 40.

Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол B прямой, и BH - высота, опущенная на гипотенузу AC. 2. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. 3. Следовательно, треугольник ABH подобен треугольнику BCH, и оба они подобны треугольнику ABC. 4. Из подобия треугольников ABH и ABC следует: \(\frac{AH}{AB} = \frac{AB}{AC}\) Отсюда, \(AB^2 = AH \cdot AC\) 5. Из подобия треугольников BCH и ABC следует: \(\frac{CH}{BC} = \frac{BC}{AC}\) Отсюда, \(BC^2 = CH \cdot AC\) 6. Мы знаем, что AH = 18 и BC = 40. Подставим эти значения в уравнение из пункта 5: \(40^2 = CH \cdot AC\) \(1600 = CH \cdot AC\) 7. Мы также знаем, что AC = AH + CH, поэтому AC = 18 + CH. Подставим это в уравнение из пункта 6: \(1600 = CH \cdot (18 + CH)\) \(1600 = 18CH + CH^2\) \(CH^2 + 18CH - 1600 = 0\) 8. Решим квадратное уравнение относительно CH: \(CH^2 + 18CH - 1600 = 0\) Используем квадратное уравнение: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) В нашем случае, a = 1, b = 18, c = -1600. \(CH = \frac{-18 \pm \sqrt{18^2 - 4(1)(-1600)}}{2(1)}\) \(CH = \frac{-18 \pm \sqrt{324 + 6400}}{2}\) \(CH = \frac{-18 \pm \sqrt{6724}}{2}\) \(CH = \frac{-18 \pm 82}{2}\) 9. У нас два возможных значения для CH: \(CH_1 = \frac{-18 + 82}{2} = \frac{64}{2} = 32\) \(CH_2 = \frac{-18 - 82}{2} = \frac{-100}{2} = -50\) 10. Поскольку длина не может быть отрицательной, CH = 32. **Ответ: CH = 32**