10. Решите задачу: В треугольнике ABC известен периметр, равный 48, стороны BC и AC равны, внешний угол при вершине C составляет 136°, одна из сторон треугольника равна 12. Требуется найти длины всех сторон и величины всех углов треугольника ABC. Дано: треугольник ABC. P = 48, BC = AC, внешний угол при вершине C = 136°, одна из сторон = 12.

Решение:

1. Найдем внутренний угол при вершине C:

$$ \angle C = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$$

2. Так как BC = AC, то треугольник ABC - равнобедренный. Углы при основании AB равны.

$$ \angle A = \angle B = \frac{180^\circ - 44^\circ}{2} = \frac{136^\circ}{2} = 68^\circ$$

3. Рассмотрим два случая:

Случай 1: AB = 12

Пусть BC = AC = x

Периметр равен: P = AB + BC + AC = 12 + x + x = 48

2x = 48 - 12

2x = 36

x = 18

Тогда стороны треугольника: AB = 12, BC = AC = 18

Случай 2: BC = AC = 12

Пусть AB = x

Периметр равен: P = AB + BC + AC = x + 12 + 12 = 48

x = 48 - 24

x = 24

Тогда стороны треугольника: BC = AC = 12, AB = 24

Ответ: Вариант 1: AB = 12, BC = AC = 18, \(\angle A = \angle B = 68^\circ\), \(\angle C = 44^\circ\). Вариант 2: BC = AC = 12, AB = 24, \(\angle A = \angle B = 68^\circ\), \(\angle C = 44^\circ\).