2.Решите задачу. Диагональ прямоугольника равна 13 см а его периметр – 34 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника будут a и b. Тогда по условию задачи имеем:

Периметр прямоугольника равен 34 см, следовательно:

$$2(a + b) = 34$$ $$a + b = 17$$

Диагональ прямоугольника равна 13 см. По теореме Пифагора:

$$a^2 + b^2 = 13^2 = 169$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} a + b = 17 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases}$$

Выразим из первого уравнения b через a:

$$b = 17 - a$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$a^2 + (17 - a)^2 = 169$$

Раскроем скобки и упростим:

$$a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169$$ $$2a^2 - 34a + 120 = 0$$

Разделим уравнение на 2:

$$a^2 - 17a + 60 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49$$

Найдем корни:

$$a_1 = \frac{17 + \sqrt{49}}{2} = \frac{17+7}{2} = 12$$ $$a_2 = \frac{17 - \sqrt{49}}{2} = \frac{17-7}{2} = 5$$

Найдем соответствующие значения b:

При $$a_1 = 12$$:

$$b_1 = 17 - a_1 = 17 - 12 = 5$$

При $$a_2 = 5$$:

$$b_2 = 17 - a_2 = 17 - 5 = 12$$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 5 см.

Ответ: 12 см, 5 см