6. Решите задачу. В треугольник $MNK$ вписана окружность с центром в точке $O$. Окружность касается стороны $MN$ в точке $A$, стороны $NK$ в точке $B$ и стороны $MK$ в точке $C$. Вычислите неизвестные углы, если $\angle OMN = 39^\circ$ и $\angle KNO = 20^\circ$. $\angle COA = ?$ $\angle AOB = ?$ $\angle BOC = ?$

Давайте решим эту задачу по геометрии. 1. Найдём углы треугольника MNK: * $\angle N = \angle KNO + \angle ONM = 20^\circ + 39^\circ = 59^\circ$. 2. Т.к. $OA$, $OB$ и $OC$ - биссектрисы углов $M$, $N$ и $K$ соответственно, то $\angle OMN = \angle OMA = 39^\circ$, $\angle KNO = \angle KNB = 20^\circ$. Найдём углы $M$ и $K$. 3. $\angle M = 2 \cdot \angle OMN = 2 \cdot 39^\circ = 78^\circ$. 4. $\angle K = 180^\circ - \angle M - \angle N = 180^\circ - 78^\circ - 59^\circ = 43^\circ$. 5. $\angle NKO = \angle OKM = \frac{1}{2} \cdot \angle K = \frac{1}{2} \cdot 43^\circ = 21.5^\circ$. 6. Теперь рассмотрим четырёхугольники, образованные радиусами и сторонами треугольника $MNK$: 7. *Четырёхугольник $AOBN$*: $\angle AOB = 180^\circ - \angle N = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ$. 8. *Четырёхугольник $BOCK$*: $\angle BOC = 180^\circ - \angle K = 180^\circ - 43^\circ = 137^\circ$. 9. *Четырёхугольник $COAM$*: $\angle COA = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$. Ответ: $\angle COA = 102^\circ$ $\angle AOB = 121^\circ$ $\angle BOC = 137^\circ$