7. Решите неравен- 2x+2 4x + 7.2x + 20 2x + + ≤ 1. ство 2x - 4 4x - 3.2x+2 + 32

7. Решите неравенство:

$$2^x + \frac{2^{x+2}}{2^x - 4} + \frac{4^x + 7 \cdot 2^x + 20}{4^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 32} \le 1$$ $$2^x + \frac{4 \cdot 2^{x}}{2^x - 4} + \frac{(2^x)^2 + 7 \cdot 2^x + 20}{(2^x)^2 - 12 \cdot 2^{x} + 32} \le 1$$

Обозначим $$t = 2^x$$, тогда получим:

$$t + \frac{4t}{t - 4} + \frac{t^2 + 7t + 20}{t^2 - 12t + 32} \le 1$$ $$t + \frac{4t}{t - 4} + \frac{t^2 + 7t + 20}{(t-4)(t-8)} \le 1$$ $$t + \frac{4t}{t - 4} + \frac{t^2 + 7t + 20}{(t-4)(t-8)} -1 \le 0$$ $$\frac{t(t-4)(t-8) + 4t(t-8)+t^2 + 7t + 20 - (t-4)(t-8)}{(t-4)(t-8)} \le 0$$ $$\frac{t(t^2-12t+32) + 4t^2-32t+t^2 + 7t + 20 - (t^2-12t+32)}{(t-4)(t-8)} \le 0$$ $$\frac{t^3-12t^2+32t + 4t^2-32t+t^2 + 7t + 20 - t^2+12t-32}{(t-4)(t-8)} \le 0$$ $$\frac{t^3-8t^2+19t - 12}{(t-4)(t-8)} \le 0$$

Найдем корни числителя:

$$t^3-8t^2+19t - 12 = 0$$

Методом подбора находим корень: t=1

$$1-8+19-12 = 0$$

Тогда делим многочлен на (t-1):

$$t^3-8t^2+19t - 12 = (t-1)(t^2-7t+12)$$

Найдем корни квадратного трехчлена:

$$t^2-7t+12 = 0$$ $$D = 49-4 \cdot 12 = 1$$ $$t_1 = \frac{7+1}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{7-1}{2} = 3$$ $$\frac{(t-1)(t-3)(t-4)}{(t-4)(t-8)} \le 0$$

Т.к. t не равно 4:

$$\frac{(t-1)(t-3)}{(t-8)} \le 0$$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем:

$$t \in (-\infty; 1] \cup [3;8)$$

Возвращаясь к замене, получаем:

$$2^x \le 1$$ или $$3 \le 2^x < 8$$ $$x \le 0$$ или $$log_2(3) \le x < 3$$

Ответ: $$x \in (-\infty; 0] \cup [log_2(3);3)$$