3-0,25x 8. Решите неравенство: ≥ 1,5. 2-2-x

8. Решите неравенство:

$$\frac{3-0.25^x}{2-2^{-x}} \ge 1.5$$ $$\frac{3-((\frac{1}{4})^x)}{2-(\frac{1}{2})^x} \ge \frac{3}{2}$$ $$\frac{3-(\frac{1}{4})^x}{2-(\frac{1}{2})^x} -\frac{3}{2} \ge 0$$ $$\frac{2(3-(\frac{1}{4})^x)-3(2-(\frac{1}{2})^x)}{2(2-(\frac{1}{2})^x)} \ge 0$$ $$\frac{6-2(\frac{1}{4})^x-6+3(\frac{1}{2})^x)}{2(2-(\frac{1}{2})^x)} \ge 0$$ $$\frac{3(\frac{1}{2})^x-2(\frac{1}{4})^x)}{2(2-(\frac{1}{2})^x)} \ge 0$$ $$\frac{3(\frac{1}{2})^x-2((\frac{1}{2})^x)^2)}{2(2-(\frac{1}{2})^x)} \ge 0$$

Обозначим $$t = (\frac{1}{2})^x$$, тогда получим:

$$\frac{3t-2t^2}{2(2-t)} \ge 0$$ $$\frac{t(3-2t)}{2(2-t)} \ge 0$$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем:

$$t \in [0; \frac{3}{2}] \cup (2; +\infty)$$

Возвращаясь к замене, получаем:

$$(\frac{1}{2})^x \le \frac{3}{2}$$ или $$(\frac{1}{2})^x > 2$$ $$x \ge -log_2(\frac{3}{2})$$ или $$x < -1$$ $$x \ge -log_2(\frac{3}{2})$$ или $$x < -1$$

Ответ: $$x \in (-\infty; -1) \cup [-log_2(\frac{3}{2}); +\infty)$$