резков являются касательными: АС, BC, CD; б) какие из сле- дующих лучей являются касательными: АС, СА, CD, DB? 348 Две окружности с центрами О₁ и О2 вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках А и D, а вторая В и С. Докажите, что AB=CD.

347

В данном контексте касательными являются отрезки, которые касаются окружности только в одной точке, не пересекая её. Таким образом:

• AC, BC, CD – отрезки, являющиеся касательными.

б) Среди лучей, касательными являются:

• AC, CD – лучи, являющиеся касательными, так как они продолжают касательные отрезки.

348

Доказательство:

• Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей, вписанных в угол с вершиной, например, в точке E.
• Окружности касаются сторон угла в точках A, D и B, C соответственно.
• Тогда O₁A ⊥ EA и O₂B ⊥ EB (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
• ΔEO₁A и ΔEO₂B – прямоугольные.
• ∠O₁EA = ∠O₂EB (как часть общего угла).
• Из подобия ΔEO₁A и ΔEO₂B (по двум углам) следует, что EO₁/EO₂ = O₁A/O₂B.
• Пусть O₁A = r₁, O₂B = r₂. Тогда EO₁/EO₂ = r₁/r₂.
• EO = EO₁ + O₁O = EO₂ + O₂O

Аналогично для CD: CD = 2√(r₁r₂). Следовательно, AB = CD.

Ответ: Доказано, что AB = CD.