в точках 349 Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними. 350 Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, прове- дены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ. 351 Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точ- ку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точ- ке Д. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

349

Пусть данная окружность с центром O, AT – касательная к окружности в точке A, и AB – хорда, равная радиусу этой окружности.

Рассмотрим ΔAOB: AO = OB = AB = r, следовательно, ΔAOB – равносторонний, и ∠AOB = 60°.

• ∠OAT = 90° (касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания).
• ∠OAB = (1/2)∠AOB = 30° (AO – биссектриса угла AOB).
• Искомый угол ∠BAT = ∠OAT − ∠OAB = 90° − 30° = 60°.

Ответ: 60°

350

Пусть дана окружность с центром O, AB – хорда, равная радиусу, CA и CB – касательные к окружности.

ΔAOB – равносторонний (AO = OB = AB = r), следовательно, ∠AOB = 60°.

• ∠OAC = ∠OBC = 90° (касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания).
• Рассмотрим четырёхугольник OACB: ∠OAC + ∠ACB + ∠CBO + ∠BOA = 360°.
• 90° + ∠ACB + 90° + 60° = 360°.
• ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 60° = 120°.

Ответ: 120°

351

Дано: ∠BAC = 30°, CD – касательная.

Доказать: ΔACD – равнобедренный.

Решение:

1. ∠AСВ = 90° (угол, опирающийся на диаметр).
2. ∠ABC = 90° − 30° = 60° (сумма углов треугольника).
3. ∠ACD = ∠ABC = 60° (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду).
4. ∠CAD = 180° − 60° − 60° = 60°.

Следовательно, ΔACD – равносторонний (все углы по 60°), а значит, и равнобедренный.

Ответ: Треугольник ACD равнобедренный.