640 Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см.

Дано: Окружность с центром O, радиус r = 4,5 см, точка A, OA = 9 см. Через точку A проведены две касательные к окружности.

Найти: Угол между касательными.

Решение:

1. Пусть B и C - точки касания касательных, проведенных из точки A к окружности. Тогда AB и AC - касательные к окружности.
2. Радиусы OB и OC перпендикулярны касательным AB и AC соответственно (свойство касательной). Следовательно, ∠OBA = 90° и ∠OCA = 90°.
3. Треугольники OBA и OCA - прямоугольные. OA - общая гипотенуза, OB = OC = r = 4,5 см.
4. Синус угла OAB равен отношению противолежащего катета OB к гипотенузе OA: sin(∠OAB) = OB / OA = 4,5 см / 9 см = 1/2.
5. Следовательно, ∠OAB = arcsin(1/2) = 30°.
6. Так как ∠OAB = ∠OAC (свойство касательных, проведенных из одной точки), то ∠BAC = 2 * ∠OAB = 2 * 30° = 60°.

Ответ: 60°.