Рис. 3.45. Дано: NF = PF; MF = QF. Доказать: MN || PQ.

Для доказательства параллельности прямых MN и PQ, рассмотрим рисунок 3.45. Дано: NF = PF и MF = QF. Нужно доказать, что MN || PQ. Рассмотрим треугольники ΔMFN и ΔQFР. В этих треугольниках:

1. NF = PF (по условию)
2. MF = QF (по условию)
3. ∠MFN = ∠QFP (как вертикальные углы)

Таким образом, треугольники ΔMFN и ΔQFP равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠NMF = ∠PQF. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых MN и PQ и секущей MQ. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Ответ: MN || PQ (что и требовалось доказать).