Рис. 5. Из точки A проведены две секущие: на первой AB = x, BC = 4; на второй AD = 5, DE = 7. Найти x.

По теореме о произведениях внешней части секущей на её полную длину:

\(AB \cdot AC = AD \cdot AE\).

Полные длины секущих: \(AC = x + 4\), \(AE = 5 + 7 = 12\).

Подставим данные: \(x(x + 4) = 5 \cdot 12\).

\(x^2 + 4x - 60 = 0\).

\((x - 6)(x + 10) = 0\), поэтому \(x = 6\) или \(x = -10\). Длина отрезка положительна, значит подходит только \(x = 6\).

Ответ: \(x = 6\).