Рис. 849.

Решение:

\( MN \) — касательная к окружности в точке \( N \). \( M \) — точка вне окружности.

\( MN = 20 \).

\( MK \) — секущая, пересекающая окружность в точках \( K \) и \( P \).

\( PK = ? \).

По теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной от внешней точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от внешней точки до точек пересечения с окружностью.

\( MN^2 = MK · MP \).

На рисунке дано: \( MN = 20 \), \( MK = ? \), \( MP = ? \).

Также дано, что \( KP = 20 \).

Значит \( MK = MP + PK = MP + 20 \).

\( 20^2 = (MP + 20) · MP \)

\( 400 = MP^2 + 20 MP \)

\( MP^2 + 20 MP - 400 = 0 \).

Решим квадратное уравнение для \( MP \).

\( MP = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400)}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 1600}}{2} = \frac{-20 \pm \sqrt{2000}}{2} \).

\( \sqrt{2000} = \sqrt{400 \cdot 5} = 20 \sqrt{5} \).

\( MP = \frac{-20 \pm 20 \sqrt{5}}{2} = -10 \pm 10 \sqrt{5} \).

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, берём положительное значение:

\( MP = -10 + 10 \sqrt{5} = 10 (\sqrt{5} - 1) \).

\( PK = KP = 20 \).

Ответ: \( PK = 20 \).