2. Рис. 3.149. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 на 30° больше ∠4. Найти: ∠3, ∠4.

Для решения задачи необходимо вспомнить свойство углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180°.

1. Пусть ∠4 = x, тогда ∠3 = x + 30°.

2. Рассмотрим треугольник ABC:

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°

Т.к. ∠1 = ∠2, то 2∠1 + ∠3 + ∠4 = 180°

2∠1 + x + 30° + x = 180°

2∠1 + 2x = 150°

∠1 + x = 75°

∠1 = 75° - x

3. ∠1 - внешний угол треугольника, смежный с углом ∠3. Тогда

∠1 + ∠3 = 180°

75° - x + x + 30° = 180°

105° = 180°

Получили противоречие, значит, в условии задачи есть ошибка.

Предположим, что дано: ∠1 = ∠3, ∠3 на 30° больше ∠4.

1. Пусть ∠4 = x, тогда ∠3 = x + 30°.

2. Рассмотрим треугольник ABC:

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°

Т.к. ∠1 = ∠3, то ∠3 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°

2∠3 + ∠2 + ∠4 = 180°

2(x + 30°) + ∠2 + x = 180°

2x + 60° + ∠2 + x = 180°

3x + ∠2 = 120°

∠2 = 120° - 3x

3. ∠2 - внешний угол треугольника, смежный с углом ∠4. Тогда

∠2 + ∠4 = 180°

120° - 3x + x = 180°

-2x = 60°

x = -30°

Получили отрицательное значение угла, значит, в условии задачи есть ошибка.

Предположим, что дано: ∠2 = ∠3, ∠3 на 30° больше ∠4.

1. Пусть ∠4 = x, тогда ∠3 = x + 30°.

2. Рассмотрим треугольник ABC:

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°

Т.к. ∠2 = ∠3, то ∠1 + ∠3 + ∠3 + ∠4 = 180°

∠1 + 2∠3 + ∠4 = 180°

∠1 + 2(x + 30°) + x = 180°

∠1 + 2x + 60° + x = 180°

∠1 + 3x = 120°

∠1 = 120° - 3x

3. ∠1 - внешний угол треугольника, смежный с углом ∠4. Тогда

∠1 + ∠4 = 180°

120° - 3x + x = 180°

-2x = 60°

x = -30°

Получили отрицательное значение угла, значит, в условии задачи есть ошибка.

Предположим, что дано: ∠1 = ∠2, ∠4 на 30° больше ∠3.

1. Пусть ∠3 = x, тогда ∠4 = x + 30°.

2. Рассмотрим треугольник ABC:

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°

Т.к. ∠1 = ∠2, то 2∠1 + ∠3 + ∠4 = 180°

2∠1 + x + x + 30° = 180°

2∠1 + 2x = 150°

∠1 + x = 75°

∠1 = 75° - x

3. ∠1 - внешний угол треугольника, смежный с углом ∠3. Тогда

∠1 + ∠3 = 180°

75° - x + x = 180°

75° = 180°

Получили противоречие, значит, в условии задачи есть ошибка.

Ответ: в условии задачи есть ошибка.