1. Рис. 856. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO=5. Найти: а) OB; 6) AC: BD; B) SAOC: SBOD

Решение:

а) Рассмотрим треугольники АОB и COD. ∠A = ∠B (по условию), ∠AOB = ∠COD (как вертикальные). Следовательно, треугольники АОB и COD подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$$ \frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} $$ $$ \frac{5}{4} = \frac{6}{BO} $$ $$ BO = \frac{6 \cdot 4}{5} = \frac{24}{5} = 4.8 $$

б) Так как треугольники AOB и COD подобны, то углы при основании равны, следовательно, AC = AO + OC = 5 + 4 = 9, BD = BO + OD = 4.8 + 6 = 10.8

$$ \frac{AC}{BD} = \frac{9}{10.8} = \frac{90}{108} = \frac{5}{6} $$

в) Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Коэффициент подобия равен:

$$ k = \frac{AO}{CO} = \frac{5}{4} $$ Тогда отношение площадей:

$$ \frac{S_{AOB}}{S_{COD}} = k^2 = (\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16} $$ Рассмотрим треугольники AOC и BOC. У них общая высота, проведенная из вершины C, тогда их площади относятся как основания: AO/OB = 5/4.8 = 25/24 $$ \frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} = \frac{25}{24} $$ Рассмотрим треугольники AOD и COD. У них общая высота, проведенная из вершины D, тогда их площади относятся как основания: AO/OC = 5/4 $$ \frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{5}{4} $$ $$ \frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OB} $$ $$ \frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} = \frac{5}{4.8} $$ Из условия равенства углов А и В, следует, что треугольники АОС и ВОD равновеликие, т.е. их площади равны. $$ S_{AOC} = S_{BOD} $$ $$ S_{BOD} = \frac{AO \cdot DO \cdot sin∠AOD}{2} $$ $$ S_{AOC} = \frac{CO \cdot BO \cdot sin∠BOC}{2} $$ ∠AOD = ∠BOC (как вертикальные) $$ S_{BOD} = S_{AOC} $$ $$ AO \cdot DO = CO \cdot BO $$ $$ \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} $$ Отсюда следует, что площади треугольников равны: $$ S_{AOC} = S_{BOD} $$ И площади треугольников: $$ S_{AOD} = S_{BOC} $$ Так как основания пропорциональны, то: $$ \frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} = \frac{5}{4.8} $$ $$ \frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{5}{4} $$ $$S_{BOC} = S_{AOD}$$ $$ \frac{S_{AOC}}{S_{AOD}} = \frac{5}{4.8} $$ $$ S_{AOC} = \frac{5 \cdot S_{AOD}}{4.8} $$ $$ \frac{5 \cdot S_{AOD}}{4.8} $$ $$S_{BOD} = \frac{S_{AOD} \cdot 5}{4.8} = $$

Ответ: а) OB = 4.8 см; б) AC : BD = 5 : 6; в) SAOC : SBOD = 1