1. Рис. 695. Дано: ∠B = 60°, ◡AB : ◡BC = 7 : 5. Найти: ∠A, ∠C, ∠AOC.

Для решения этой задачи, нам потребуется знание нескольких теорем о вписанных углах и центральных углах в окружности. 1. Нахождение углов ∠A и ∠C: * Угол ∠B является вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Таким образом, дуга AC равна (2 cdot ∠B = 2 cdot 60° = 120°). * По условию, отношение дуг AB : BC = 7 : 5. Пусть дуга AB = 7x, а дуга BC = 5x. Тогда сумма этих дуг равна дуге AC, то есть (7x + 5x = 120°). * Решаем уравнение: (12x = 120°), откуда (x = 10°). * Теперь находим дуги AB и BC: * Дуга AB = 7 * 10° = 70° * Дуга BC = 5 * 10° = 50° * Угол ∠A - вписанный и опирается на дугу BC, значит, ∠A = 50° / 2 = 25°. * Угол ∠C - вписанный и опирается на дугу AB, значит, ∠C = 70° / 2 = 35°. 2. Нахождение угла ∠AOC: * Угол ∠AOC является центральным углом, опирающимся на дугу AC. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается. Следовательно, ∠AOC = 120°. Ответ: * ∠A = 25° * ∠C = 35° * ∠AOC = 120°