1. Рис. 856. Дано: ДА = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5. Найти: а) ОВ; б) АС: BD; в) SAOC: SBOD

а) Рассмотрим треугольники АОD и ВОС. У них ∠A = ∠B (по условию), углы при вершине О равны как вертикальные. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.

Составим отношение:

$$ \frac{AO}{BO} = \frac{DO}{CO}$$

Подставим значения:

$$ \frac{5}{BO} = \frac{6}{4}$$

Выразим ВО:

$$BO = \frac{5 \cdot 4}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$$

б) АС = АО + ОС = 5 + 4 = 9

BD = DO + OB = 6 + 3 1/3 = 9 1/3 = 28/3

AC : BD = 9 : 28/3 = 27/28

в) Т.к. треугольники подобны, то площади относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$k = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{\frac{10}{3}} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$$ $$S_{AOC} : S_{BOD} = k^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$$

Ответ: а) $$3\frac{1}{3}$$; б) $$ \frac{27}{28}$$; в) $$ \frac{9}{4}$$