2. Рис. 3.45. Дано: NF = PF; MF = QF. Доказать: МN || PQ.

Рассмотрим рисунок 3.45.

Дано: $$NF = PF; MF = QF$$

Доказать: $$MN \| PQ$$

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $$\triangle MFN$$ и $$\triangle QFP$$.
2. $$NF = PF$$ (по условию)
3. $$MF = QF$$ (по условию)
4. $$\angle MFN = \angle QFP$$ (как вертикальные)

Следовательно, $$\triangle MFN = \triangle QFP$$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $$\angle FMN = \angle FQP$$

Эти углы являются накрест лежащими при прямых MN и PQ и секущей MQ. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, $$MN \| PQ$$.

Ответ: MN || PQ. Доказано.