2. Рис. 3.45. Дано: NF = PF; MF= QF. Доказать: МN || PQ.

Рассмотрим рисунок 3.45.

Докажем, что MN || PQ.

1) Рассмотрим треугольники MFN и QFP.

По условию NF = PF, MF = QF.

∠MFN = ∠QFP как вертикальные.

Следовательно, ΔMFN = ΔQFP по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: ∠NMF = ∠FQP.

2) Углы NMF и FQP являются соответственными углами при прямых MN и PQ и секущей MQ. Так как эти углы равны, то прямые MN и PQ параллельны (по признаку параллельности прямых).

Ответ: MN || PQ, что и требовалось доказать.