1. Рис. 857. Дано: РЕ || МК, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) МК; 6) PE: NK; B) SMEP: SMKN

Решение:

a) Рассмотрим треугольники MPE и MNK. Так как PE || NK, то углы MPE и MNK равны как соответственные углы при параллельных прямых PE и NK и секущей MN. Угол M - общий. Следовательно, треугольники MPE и MNK подобны по двум углам.

Запишем отношение сторон подобных треугольников:

\[\frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{8}{12} = \frac{6}{MK}\]

Решим уравнение для MK:

\[MK = \frac{6 \times 12}{8} = \frac{72}{8} = 9\]

б) Найдем отношение PE к NK, используя подобие треугольников MPE и MNK:

\[\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]

Чтобы найти отношение PE : NK, нужно выразить NK через известные величины. Заметим, что \(NK = \frac{3}{2} PE\). Тогда найдем NE:

По условию MN = 12, MP = 8, следовательно PN = MN - MP = 12 - 8 = 4

Треугольники MPE и MNK подобны, значит:

\[\frac{ME}{MK} = \frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN}\]

Пусть PE = x, NK = y, тогда

\[\frac{x}{y} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]

Из этого следует, что y = \(\frac{3}{2}\)x. Тогда отношение PE : NK = x : \(\frac{3}{2}\)x = 2 : 3.

Так как MP = 8, ME = 6, MN = 12, MK = 9, то PN = 4, EK = 3. Значит, \(\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK}\). Получаем, что \(\frac{PE}{NK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)

Упростим отношение:

По теореме о пропорциях NK = \(\frac{3}{2}\) * PE. Тогда NE = NK - EK = \(\frac{3}{2}\) * PE - EK.

Найти отношение PE:NK не представляется возможным из имеющихся данных, так как неизвестно численное значение ни PE ни NK, но их отношение выразить можно.

PE:NK = 2:3

Примем PE за 1 часть, тогда NK = \(\frac{3}{2}\). Разделим обе части на \(\frac{3}{2}\)

PE : NK = 1:1

в) Найдем отношение площадей треугольников MEP и треугольника MKN, зная, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \left(\frac{ME}{MK}\right)^2 = \left(\frac{6}{9}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

Не сходится с ответом, но логика решения верная.

Рассмотрим треугольники MEP и треугольника MKN. Угол M у них общий, а площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол. Тогда:

\[\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \frac{ME \cdot MP}{MK \cdot MN} = \frac{6 \cdot 8}{9 \cdot 12} = \frac{48}{108} = \frac{4}{9}\]

Так как отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то

\[k = \sqrt{\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}}} = \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} = \frac{PE}{NK}\]

Отношение площадей: \(\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \frac{4}{9}\)