1. Рис. 857. ІІ вариант Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ΜΕ = 6. Найти: а) МК; 6) PE : NK; B) SMEP: SMKN

1. Рассмотрим рисунок 857.

Дано: $$PE \parallel NK$$, $$MP = 8$$, $$MN = 12$$, $$ME = 6$$.

Найти:

а) $$MK$$

б) $$PE : NK$$

в) $$S_{MEP} : S_{MKN}$$

Решение:

a) По теореме Фалеса, если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне пропорциональные отрезки, то они отсекают пропорциональные отрезки и на другой стороне угла.

$$\frac{MP}{ME} = \frac{MN}{MK}$$

$$\frac{8}{6} = \frac{12}{MK}$$

$$MK = \frac{12 \cdot 6}{8} = \frac{72}{8} = 9$$

б) $$PE \parallel NK$$, следовательно, $$\triangle MEP \sim \triangle MNK$$ по двум углам (угол М - общий, углы при параллельных прямых равны).

Значит, $$\frac{ME}{MN} = \frac{MP}{MK} = \frac{PE}{NK}$$.

$$\frac{ME}{MN} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$.

$$\frac{PE}{NK} = \frac{1}{2}$$.

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициент подобия $$k = \frac{1}{2}$$.

$$k^2 = \frac{1}{4}$$.

$$\frac{S_{MEP}}{S_{MNK}} = \frac{1}{4}$$.

Ответ: а) $$MK = 9$$, б) $$\frac{PE}{NK} = \frac{1}{2}$$, в) $$\frac{S_{MEP}}{S_{MNK}} = \frac{1}{4}$$