3. Отрезки АВ и CD пересекаются в т. О так, что ∠ACO = ∠BDO, AO : OB = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см.

Рассмотрим треугольники ACO и BDO.

Дано: ∠ACO = ∠BDO, AO : OB = 2 : 3, P_BOD = 21 см.

Так как углы ACO и BDO равны, углы AOD и BOC равны как вертикальные, то треугольники ACO и BDO подобны по двум углам.

Запишем отношение сторон:

$$\frac{AO}{OB} = \frac{CO}{OD} = \frac{AC}{BD} = \frac{2}{3}$$

Периметр треугольника BOD равен:

$$P_{BOD} = OB + OD + BD = 21$$

Периметр треугольника ACO равен:

$$P_{ACO} = AO + CO + AC$$

Выразим стороны треугольника ACO через стороны треугольника BDO:

$$AO = \frac{2}{3} OB$$ $$CO = \frac{2}{3} OD$$ $$AC = \frac{2}{3} BD$$

Тогда периметр треугольника ACO равен:

$$P_{ACO} = \frac{2}{3} OB + \frac{2}{3} OD + \frac{2}{3} BD = \frac{2}{3} (OB + OD + BD) = \frac{2}{3} P_{BOD}$$

Подставим значение P_BOD = 21 см:

$$P_{ACO} = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14 \text{ см}$$

Ответ: 14 см