Рычаг имеет плечи, длины которых отличаются в 4 раза. Чтобы поднять груз массой 90 кг, к длинному плечу прикладывают вертикальную силу 250 Н. Вычислите КПД рычага.

Привет! Давай разберёмся с КПД рычага. КПД — это отношение полезной работы к затраченной. Формула такая:

\[ \eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \times 100\% \]

Дано:

• Масса груза ($$m$$) = 90 кг
• Приложенная сила ($$F$$) = 250 Н
• Отношение плеч рычага = 4

1. Находим полезную работу ($$A_{полезная}$$):

Это работа по подъёму груза. Для начала найдём вес груза:

\[ P = m \times g \]

Примем ускорение свободного падения $$g ≈ 10 \text{ м/с}^2$$.

\[ P = 90 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}^2 = 900 \text{ Н} \]

Предположим, что груз поднимается на некоторую высоту $$h_1$$. Тогда полезная работа:

\[ A_{полезная} = P \times h_1 = 900 \text{ Н} \times h_1 \]

2. Находим затраченную работу ($$A_{затраченная}$$):

Мы знаем, что плечи рычага отличаются в 4 раза. Пусть короткое плечо будет $$l_1$$, а длинное $$l_2$$. Тогда $$l_2 = 4l_1$$.

По закону рычага, отношение сил обратно пропорционально отношению плеч:

\[ \frac{F}{P} = \frac{l_1}{l_2} \]

\[ \frac{250 \text{ Н}}{900 \text{ Н}} = \frac{l_1}{l_2} \]

Но мы знаем, что $$l_2 = 4l_1$$, значит:

\[ \frac{250}{900} = \frac{l_1}{4l_1} = \frac{1}{4} \]

\[ \frac{250}{900} \approx 0,278 \]

А \( \frac{1}{4} = 0,25 \).

Здесь есть несоответствие. Вероятно, в условии задачи подразумевается, что для подъема груза силой 900 Н (это вес) к длинному плечу приложена сила 250 Н. Если плечи отличаются в 4 раза, то должно выполняться условие:

\[ P \times l_1 = F \times l_2 \]

\[ 900 \text{ Н} \times l_1 = 250 \text{ Н} \times 4l_1 \]

\[ 900l_1 = 1000l_1 \]

Это равенство не выполняется, если не учитывать КПД.

Переформулируем задачу:

Пусть $$l_2$$ — длинное плечо, $$l_1$$ — короткое. Тогда $$l_2 = 4l_1$$.

Груз массой 90 кг (вес $$P = 900$$ Н) поднимается, значит, сила 250 Н приложена к длинному плечу $$l_2$$, а груз (сила $$P$$) находится на коротком плече $$l_1$$.

Полезная работа ($$A_{полезная}$$):

Работа по подъёму груза на высоту $$h_1$$.

\[ A_{полезная} = P \times h_1 = 900 \times h_1 \]

Затраченная работа ($$A_{затраченная}$$):

Работа, совершённая приложенной силой $$F$$ на пути $$h_2$$. По закону рычага, отношение пройденных путей равно отношению плеч:

\[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{4} \]

\[ h_2 = 4h_1 \]

\[ A_{затраченная} = F \times h_2 = 250 \text{ Н} \times (4h_1) = 1000h_1 \]

Теперь находим КПД:

\[ \eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \times 100\% = \frac{900h_1}{1000h_1} \times 100\% \]

\[ \eta = \frac{900}{1000} \times 100\% = 0,9 \times 100\% = 90\% \]

Ответ: КПД рычага составляет 90%.