С.1. В олимпиаде по математике приняло участие 40 учащихся. Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по теории вероятностей. Задачу по алгебре решили 20 человек, по геометрии — 18 человек, по теории вероятностей — 18 человек. Задачи по алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и теории вероятностей — 9 человек, по геометрии и теории вероятностей — 8 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. а) Сколько участников решили только по одной задаче? б) Сколько было участников, решивших все задачи?

Всего хотя бы одну задачу решили 40 − 3 = 37 участников.

Обозначим число участников, решивших все три задачи, через \(x\). По формуле включений и исключений:

37 = 20 + 18 + 18 − 7 − 9 − 8 + x.

37 = 56 − 24 + x, поэтому \(x=5\).

Чтобы найти число решивших ровно одну задачу, из суммы числа решивших каждую задачу вычтем дважды сумму пересечений попарных множеств и прибавим трижды число решивших все три:

20 + 18 + 18 − 2(7 + 9 + 8) + 3·5 = 56 − 48 + 15 = 23.

Ответ: а) 23 участника; б) 5 участников.