С—2. 1. На рисунке 1 плоскости α и β пересекаются по прямой EF. Прямая AB лежит в плоскости α. В плоскости β через точку C проведите прямую так, чтобы она: 1) пересекала прямую AB; 2) была скрещивающейся с прямой AB; 3) была параллельна прямой AB. 2. На рисунке 2 A₁ ∥ CC₁, A₁ ∥ BB₁, BB₁ = CC₁. Докажите, что BC₁ = BC.

1. По рисунку точка C не лежит на прямой EF, поэтому C находится только в плоскости β, а прямая AB — в плоскости α и пересекает β в точке E.

1. Проведите в плоскости β прямую CE. Она пересекает AB в точке E.
2. Проведите через C прямую, параллельную EF. Она не пересекает AB; прямые некомпланарны, поскольку единственная общая линия плоскостей α и β — EF, а эта прямая через C с EF не совпадает. Значит, она скрещивается с AB.
3. Через C проведите прямую, параллельную AB. Такая прямая существует в плоскости β: направление AB совпадает с направлением EF, так как AB лежит в α и на рисунке параллельна EF.

Для пунктов 2 и 3 нужные линии в плоскости β задаются через C; здесь использовано стандартное для рисунка положение AB ∥ EF.

2. На рисунке A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой, параллельной прямой BB₁ и CC₁; отрезки BB₁ и CC₁ имеют одинаковую длину. Рассмотрим четырёхугольник BCC₁B₁. По условию BB₁ ∥ CC₁ и BB₁ = CC₁. Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то он — параллелограмм. Поэтому BC ∥ B₁C₁ и BC = B₁C₁. Однако требуемое равенство BC₁ = BC не следует из приведённых условий: оно потребовало бы дополнительной связи между точками B, C и C₁ (например, что C₁ = C, что рисунку противоречит). В условии или обозначениях, вероятно, пропущены данные; для доказательства именно BC₁ = BC их недостаточно.