С—3. 1. В параллелограмме ABCD точки E и F принадлежат сторонам AB и CD, причем BE : EA = CF : FD. Через эти точки проведена плоскость α. Докажите, что BC ∥ α. 2. Прямая a параллельна плоскости α. Через прямую a проведена плоскость β, пересекающая плоскость α по прямой b. В плоскости α существует прямая c, которая параллельна a. Докажите, что b ∥ c.

1. Из условия BE : EA = CF : FD следует, что точки E и F делят противоположные стороны параллелограмма в одинаковом отношении, отсчитываемом от вершин B и C. Поэтому EF ∥ BC.

Прямая EF лежит в плоскости α, а BC параллельна EF. При этом BC не лежит в α: плоскость α пересекает плоскость параллелограмма по EF, а BC не совпадает с EF. Следовательно, BC не имеет общих точек с α и параллельна этой плоскости.

Ответ: BC ∥ α.

2. Поскольку a ∥ α, прямая a не пересекает α. Плоскости β и α пересекаются по b, поэтому b лежит в α. В плоскости α также лежит c, причём c ∥ a.

Если b пересекала бы c в точке P, то P принадлежала бы β и c. Так как c ∥ a и обе прямые лежат в β, их пересечение невозможно (совпадение также невозможно, поскольку тогда a лежала бы в α). Значит, b и c не пересекаются. Обе прямые лежат в α; следовательно, они параллельны либо совпадают. Совпадение b и c возможно, поэтому заключение b ∥ c в смысле параллельных прямых следует с оговоркой: при совпадении прямых их считают параллельными только в определении, допускающем совпадение.

Если требуется именно различие прямых, утверждение нуждается в дополнительном условии b ≠ c. При стандартном школьном определении «параллельные прямые — не имеющие общих точек», из данных следует, что b и c либо параллельны, либо совпадают, и исключить совпадение нельзя.