С-2. Сложение и вычитание дробей. Вариант А1. 3. Докажите, что при любых допустимых значениях \(y\) значение выражения не зависит от \(y\): \(\frac{y^2-2y-3}{y^2-1}+\frac4{2y-2}\). Вариант А2. 3. Докажите, что при любых допустимых значениях \(y\) значение выражения не зависит от \(y\): \(\frac9{3y+6}+\frac{y^2-3y+2}{y^2-4}\).

Вариант А1

Разложим многочлены на множители и укажем ограничения исходного выражения: \(y^2-1=(y-1)(y+1)\), \(y^2-2y-3=(y-3)(y+1)\), \(2y-2=2(y-1)\). Поэтому \(y\ne-1,1\), а

\[\frac{y^2-2y-3}{y^2-1}+\frac4{2y-2}=\frac{(y-3)(y+1)}{(y-1)(y+1)}+\frac2{y-1}=\frac{y-3+2}{y-1}=1.\]

Получено постоянное значение, не зависящее от допустимого \(y\).

Вариант А2

Разложим знаменатели и числитель на множители: \(3y+6=3(y+2)\), \(y^2-4=(y-2)(y+2)\), \(y^2-3y+2=(y-1)(y-2)\). Ограничения: \(y\ne-2,2\). Тогда

\[\frac9{3y+6}+\frac{y^2-3y+2}{y^2-4}=\frac3{y+2}+\frac{(y-1)(y-2)}{(y-2)(y+2)}=\frac{3+y-1}{y+2}=1.\]

В обоих вариантах выражение при всех допустимых значениях \(y\) равно одной и той же константе.