С-22. 5. Выполняя задания на преобразование выражений, содержащих степени, ученик допустил следующие ошибки: 1) а) 5·5·5·5 = 4⁵; б) (−3)² = −3·3 = −9; в) 7¹ = 1; г) 0⁰ = 1; 2) а) 2³·2⁷ = 2²¹; б) 2³·2⁷ = 4¹⁰; в) 2³+2⁷ = 2¹⁰; г) 2³⁰:2¹⁰ = 2³; 3) а) (2x)³ = 2x³; б) (a³)² = a⁹; в) (a²)³·(a⁴)² = (a⁶)⁵ = a³⁰. Какие определения, свойства, правила не знает ученик?

Исправления и правила:

1. а) 5·5·5·5 = 5⁴. Основание степени — повторяющийся множитель, показатель — число множителей.
2. б) (−3)² = (−3)·(−3) = 9. При чётной степени отрицательное основание даёт положительный результат.
3. в) 7¹ = 7. Любое число в первой степени равно самому себе.
4. г) 0⁰ не определено в обычных школьных правилах степеней; его нельзя приравнивать к 1.
5. 2) а) 2³·2⁷ = 2¹⁰: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
6. б) 2³·2⁷ = 2¹⁰, а не 4¹⁰. Основание при умножении степеней с одинаковым основанием не меняется.
7. в) 2³+2⁷ = 8+128 = 136. Показатели складывают при умножении, но не при сложении степеней.
8. г) 2³⁰:2¹⁰ = 2²⁰. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают.
9. 3) а) (2x)³ = 2³x³ = 8x³: степень произведения равна произведению степеней множителей.
10. б) (a³)² = a⁶: при возведении степени в степень показатели перемножают.
11. в) (a²)³·(a⁴)² = a⁶·a⁸ = a¹⁴. Сначала показатели перемножают при возведении в степень, затем складывают при умножении одинаковых оснований; ошибочно заменять сумму показателей произведением.

Ответ: ученик не знает определение степени, правила возведения отрицательного числа в степень, свойства степеней с одинаковым основанием, свойства степени произведения и степени степени; также ему следует знать, что 0⁰ не определено.