С–3. 1. a ∥ b, a ∥ α. В каком взаимном положении находятся прямая b и плоскость α? Дайте объяснение. 2. На рисунке 12 ABCD — параллелограмм, ∠ABC = 130°, AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁ и AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁. 1) Постройте линии пересечения плоскости AMD с плоскостями AA₁B₁B, BB₁C₁C и DD₁C₁. 2) Найдите угол между прямыми AB и A₁D₁.

1. Поскольку a ∥ α, прямая a не пересекает α. Из a ∥ b следует, что b имеет то же направление, поэтому b также не пересекает α. Следовательно, b ∥ α.

2.1. Точка M лежит на BB₁, значит, она принадлежит плоскости AA₁B₁B и плоскости BB₁C₁C. Точка A принадлежит плоскости AA₁B₁B и плоскости AMD; поэтому их линия пересечения — AM. Для плоскости BB₁C₁C линия пересечения проходит через M и параллельна BC: она пересекает CC₁ в точке N, и линия пересечения — MN. Поскольку основания — параллелограммы, AD ∥ BC; плоскость AMD содержит прямую AD, поэтому линия её пересечения с плоскостью DD₁C₁ параллельна AD. Обозначив через P пересечение этой линии с DD₁, получаем DP ∥ AD и линию пересечения DP.

Для построения на рисунке: провести AM; через M провести прямую, параллельную BC, до пересечения с CC₁ (точка N); через D провести прямую, параллельную AD, до пересечения с DD₁ (точка P).

2.2. В параллелепипеде AD ∥ BC, а перенос на равные параллельные рёбра даёт A₁D₁ ∥ AD. Значит, AB и A₁D₁ образуют такой же угол, как AB и AD. В параллелограмме соседние углы дополнительны: ∠DAB = 180° − 130° = 50°.

Ответ: 1) b ∥ α; линии пересечения — AM, MN и DP, где MN ∥ BC, DP ∥ AD. 2) 50°.