С–5. 1. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины диагоналей B₁C₁ и C₁D₁ соответственно, AA₁ ⟂ EF. Докажите, что B₁D = BD₁. 2. В тетраэдре DABC ∠DBC = ∠DBA = 60°, BA = BC = 5 см, DB = 8 см, AC = 8 см. Найдите площадь треугольника ADC.

1. Обозначим векторы рёбер параллелепипеда из A через u = AB, v = AD, w = AA₁. Тогда B₁ = u + w, C₁ = u + v + w, D₁ = v + w. Так как E и F — середины указанных диагоналей, E = u + v/2 + w, F = u/2 + v + w. Поэтому EF = (v − u)/2. Условие AA₁ ⟂ EF означает w · (v − u) = 0, следовательно, w · v = w · u.

Векторы B₁D и BD₁ равны соответственно v − u − w и v − u + w. Их квадраты длин отличаются на 4w · (u − v), что равно нулю по полученному равенству. Значит, B₁D = BD₁.

2. В треугольниках DBA и DBC по две стороны равны: DB — общая, BA = BC = 5 см; углы между ними равны 60°. По признаку SAS треугольники DBA и DBC равны, поэтому DA = DC. Кроме того, по теореме косинусов DB² = DA² + BA² − 2·DA·BA·cos 60°. Подстановка DB = 8 и BA = 5 даёт DA² − 5DA − 39 = 0. Положительный корень: DA = (5 + √181)/2 см. Значит, треугольник ADC равнобедренный с боковыми сторонами AD = CD = (5 + √181)/2 см и основанием AC = 8 см.

Высота к AC делит основание пополам. По теореме Пифагора её длина равна √(AD² − 4²) = √((5√181 − 35)/2) см. Поэтому S₍ADC₎ = 1/2 · 8 · √((5√181 − 35)/2) = 4√((5√181 − 35)/2) см², приблизительно 26.4 см².

Ответ: 1) B₁D = BD₁. 2) 4√((5√181 − 35)/2) см² ≈ 26.4 см².