С-6. 1. В прямоугольнике MPKN O — точка пересечения диагоналей. Из вершин P и N к прямой MK проведены перпендикуляры. Известно, что MA = OB. Найдите угол POM.

Обозначим через A и B основания перпендикуляров из P и N соответственно. Пусть MP = w, MN = h, а длина диагонали MK равна L.

1. Проекция вектора MP на диагональ MK даёт \(MA=\frac{w^2}{L}\).
2. Проекция точки N на MK имеет расстояние от O, равное \(OB=\frac{|h^2-w^2|}{2L}\).
3. По условию \(MA=OB\), поэтому \(2w^2=|h^2-w^2|\). Случай \(h^2w^2\) получаем \(h^2=3w^2\).
4. Для векторов OM и OP имеем \(\cos\angle POM=\frac{h^2-w^2}{h^2+w^2}=\frac{1}{2}\). Следовательно, \(\angle POM=60^\circ\).

Ответ: 60°.