С-30. ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Решите уравнение: 1) a) x²+3x+x-3x²=2x; 2 2) a) 2x x² 3-x=3-x; 3) a) x²+5 = x+5 2x+3 3x+2; x+2 6) y+3=2y+3; y-3 y 4) a) 4x²-11x-3 =0; 3-x

1. Решим уравнения:

1) а)

$$\frac{x^2+3x}{2} + \frac{x-3x^2}{3} = 2x$$

Умножим обе части уравнения на 6:

$$3(x^2+3x) + 2(x-3x^2) = 12x$$ $$3x^2 + 9x + 2x - 6x^2 = 12x$$ $$-3x^2 + 11x = 12x$$ $$-3x^2 + 11x - 12x = 0$$ $$-3x^2 -x = 0$$ $$-x(3x + 1) = 0$$ $$x = 0 \text{ или } 3x + 1 = 0$$ $$3x = -1$$ $$x = -\frac{1}{3}$$

Ответ: $$x = 0; x = -\frac{1}{3}$$

---

2) a)

$$\frac{2x}{x^2} = \frac{3-x}{3-x}$$

Сократим дробь в правой части, т.к. числитель и знаменатель одинаковые:

$$\frac{2x}{x^2} = 1$$ $$2x = x^2$$ $$x^2 - 2x = 0$$ $$x(x-2) = 0$$ $$x = 0 \text{ или } x - 2 = 0$$ $$x = 2$$

Проверим, являются ли найденные корни решениями исходного уравнения. При $$x = 0$$ знаменатель дроби $$\frac{2x}{x^2}$$ обращается в нуль. Следовательно, $$x = 0$$ не является корнем уравнения.

При $$x = 2$$ знаменатели в нуль не обращаются, следовательно, $$x=2$$ является корнем уравнения.

Ответ: $$x=2$$

---

3) а)

$$\frac{x^2-1}{x+5} = \frac{5-x}{x+5}$$

Умножим обе части уравнения на (х+5):

$$x^2 - 1 = 5-x$$ $$x^2 -1 -5 + x = 0$$ $$x^2 + x - 6 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -1$$ $$x_1 \cdot x_2 = -6$$ $$x_1 = -3, x_2 = 2$$

Проверим, являются ли найденные корни решениями исходного уравнения. При $$x = -3$$ знаменатели в нуль не обращаются, следовательно, $$x=-3$$ является корнем уравнения. При $$x = 2$$ знаменатели в нуль не обращаются, следовательно, $$x=2$$ является корнем уравнения.

Ответ: $$x_1 = -3, x_2 = 2$$

---

6)

$$\frac{y+3}{y-3} = \frac{2y+3}{y}$$

По правилу пропорции:

$$y(y+3) = (2y+3)(y-3)$$ $$y^2 + 3y = 2y^2 -6y + 3y -9$$ $$y^2 + 3y = 2y^2 -3y -9$$ $$2y^2 -3y -9 -y^2 - 3y = 0$$ $$y^2 - 6y - 9 = 0$$ $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$$ $$y_1 = \frac{6 + \sqrt{72}}{2} = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2}$$ $$y_2 = \frac{6 - \sqrt{72}}{2} = \frac{6 - 6\sqrt{2}}{2} = 3 - 3\sqrt{2}$$

Проверим, являются ли найденные корни решениями исходного уравнения. При $$y = 3 + 3\sqrt{2}$$ знаменатели в нуль не обращаются, следовательно, $$y = 3 + 3\sqrt{2}$$ является корнем уравнения. При $$y = 3 - 3\sqrt{2}$$ знаменатели в нуль не обращаются, следовательно, $$y = 3 - 3\sqrt{2}$$ является корнем уравнения.

Ответ: $$y_1 = 3 + 3\sqrt{2}; y_2 = 3 - 3\sqrt{2}$$

---

4) a)

$$\frac{4x^2-11x-3}{3-x} = 0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$$4x^2 - 11x - 3 = 0$$ $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$$ $$x_1 = \frac{11 + \sqrt{169}}{8} = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3$$ $$x_2 = \frac{11 - \sqrt{169}}{8} = \frac{11 - 13}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$$

Проверим, являются ли найденные корни решениями исходного уравнения. При $$x = 3$$ знаменатель обращается в нуль, следовательно, $$x=3$$ не является корнем уравнения. При $$x = -\frac{1}{4}$$ знаменатель не обращается в нуль, следовательно, $$x=-\frac{1}{4}$$ является корнем уравнения.

Ответ: $$x=-\frac{1}{4}$$