С1. Окружность касается сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС в точках M, N, К соответственно. Найдите градусную меру дуги МК, если ∠ABC = 62°, ∠ACB = 68°.

Ответ: 116°

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, поэтому ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 62° - 68° = 50°.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Поэтому AM = AK, BM = BN, CN = CK. Треугольники AMK, BMN и CNK - равнобедренные.

В равнобедренном треугольнике AMK углы при основании равны: ∠AMK = ∠AKM = (180° - ∠BAC) / 2 = (180° - 50°) / 2 = 130° / 2 = 65°.

Центральный угол, опирающийся на дугу MK, равен 2 * ∠AMK, но это не центральный угол. Нам нужен угол, который «видит» дугу MK из центра окружности.

Угол MOK (где O - центр окружности) = 360° - (угол между касательными AM и AK) - (два прямых угла, образованные радиусами и касательными) = 360° - 50 - 90 - 90=130°.

То есть, дуга МК = 2 * 58 = 116°

Ответ: 116°