С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если: а) ∠A = 60°, ∠B = 40°, c = 14; б) ∠A = 30°, ∠C = 75°, b = [числовые данные обрезаны]; в) ∠A = 80°, a = 16, b = 10; г) ∠B = 45°, ∠C = 70°, a = [числовые данные обрезаны]; д) ∠A = 60°, a = 10, b = 7; е) a = 6,3, b = 6,3, ∠C = [числовые данные обрезаны]; ж) b = 32, c = 45, ∠A = 87°; з) a = 14, b = 18, c = 20; и) a = 6, b = 7,3, c = 4,8.

Используем обозначения: стороны a, b, c лежат напротив углов A, B, C. Для пунктов б), г) и е) существенные данные обрезаны, поэтому полностью решить их нельзя. Пришлите снимок этих частей целиком.

а) Сумма углов треугольника равна 180°:

\(C=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ.\)

По теореме синусов:

\(a=14\frac{\sin60^\circ}{\sin80^\circ}\approx12{,}31,\qquad b=14\frac{\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\approx9{,}14.\)

Итак, \(A=60^\circ, B=40^\circ, C=80^\circ;\ a\approx12{,}31, b\approx9{,}14, c=14.\)

в) По теореме синусов:

\(\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{10\sin80^\circ}{16}\approx0{,}6155.\)

Получаем \(B\approx37{,}99^\circ\). Второе значение угла с тем же синусом невозможно: вместе с A оно превысило бы 180°. Тогда \(C\approx62{,}01^\circ\), а \(c=\frac{16\sin C}{\sin80^\circ}\approx14{,}34.\)

Итак, \(A=80^\circ, B\approx37{,}99^\circ, C\approx62{,}01^\circ;\ a=16, b=10, c\approx14{,}34.\)

д) По теореме синусов:

\(\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{7\sin60^\circ}{10}\approx0{,}6062.\)

Значение \(B\approx37{,}33^\circ\); дополнительный угол не подходит, так как в сумме с A он даст больше 180°. Поэтому \(C\approx82{,}67^\circ\), и \(c=\frac{10\sin C}{\sin60^\circ}\approx11{,}45.\)

Итак, \(A=60^\circ, B\approx37{,}33^\circ, C\approx82{,}67^\circ;\ a=10, b=7, c\approx11{,}45.\)

ж) По теореме косинусов:

\(a=\sqrt{32^2+45^2-2\cdot32\cdot45\cos87^\circ}\approx53{,}84.\)

По теореме синусов \(\sin B=\frac{32\sin87^\circ}{a}\), откуда \(B\approx36{,}41^\circ\). Тогда \(C=180^\circ-87^\circ-B\approx56{,}59^\circ.\)

Итак, \(A=87^\circ, B\approx36{,}41^\circ, C\approx56{,}59^\circ;\ a\approx53{,}84, b=32, c=45.\)

з) По теореме косинусов:

\(\cos A=\frac{18^2+20^2-14^2}{2\cdot18\cdot20}=0{,}9,\quad A\approx25{,}84^\circ.\)

\(\cos B=\frac{14^2+20^2-18^2}{2\cdot14\cdot20}=0{,}7,\quad B\approx45{,}57^\circ.\)

\(C=180^\circ-A-B\approx108{,}59^\circ.\)

Итак, \(A\approx25{,}84^\circ, B\approx45{,}57^\circ, C\approx108{,}59^\circ.\)

и) По теореме косинусов:

\(\cos A=\frac{7{,}3^2+4{,}8^2-6^2}{2\cdot7{,}3\cdot4{,}8}\approx0{,}5755,\quad A\approx54{,}85^\circ.\)

\(\cos B=\frac{6^2+4{,}8^2-7{,}3^2}{2\cdot6\cdot4{,}8}\approx0{,}0998,\quad B\approx84{,}27^\circ.\)

\(C=180^\circ-A-B\approx40{,}88^\circ.\)

Итак, \(A\approx54{,}85^\circ, B\approx84{,}27^\circ, C\approx40{,}88^\circ.\)