11 С-30. Решение задач с помощью рациональных уравнений 1. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увели- чить на 2, а знаменатель на 21, то дробь уменьшится на. Найдите эту дробь. 4 1

Обозначим числитель дроби как $$x$$, тогда знаменатель будет $$x+4$$. Исходная дробь равна $$\frac{x}{x+4}$$. После изменений числитель станет $$x+2$$, а знаменатель $$x+4+21 = x+25$$. Новая дробь равна $$\frac{x+2}{x+25}$$. Известно, что новая дробь меньше исходной на $$\frac{1}{4}$$. Составим уравнение:

$$\frac{x}{x+4} - \frac{x+2}{x+25} = \frac{1}{4}$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{x(x+25) - (x+2)(x+4)}{(x+4)(x+25)} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{x^2 + 25x - (x^2 + 4x + 2x + 8)}{(x+4)(x+25)} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{x^2 + 25x - x^2 - 6x - 8}{x^2 + 25x + 4x + 100} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{19x - 8}{x^2 + 29x + 100} = \frac{1}{4}$$

$$4(19x - 8) = x^2 + 29x + 100$$

$$76x - 32 = x^2 + 29x + 100$$

$$x^2 + 29x - 76x + 100 + 32 = 0$$

$$x^2 - 47x + 132 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-47)^2 - 4(1)(132) = 2209 - 528 = 1681 = 41^2$$

$$x_1 = \frac{47 + 41}{2} = \frac{88}{2} = 44$$

$$x_2 = \frac{47 - 41}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Если $$x = 44$$, то знаменатель $$44 + 4 = 48$$. Дробь $$\frac{44}{48} = \frac{11}{12}$$.

Если $$x = 3$$, то знаменатель $$3 + 4 = 7$$. Дробь $$\frac{3}{7}$$.

Проверим $$x=44$$:

$$\frac{44}{48} - \frac{44+2}{44+25} = \frac{11}{12} - \frac{46}{69} = \frac{11}{12} - \frac{2}{3} = \frac{11}{12} - \frac{8}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$

Проверим $$x=3$$:

$$\frac{3}{7} - \frac{3+2}{3+25} = \frac{3}{7} - \frac{5}{28} = \frac{12}{28} - \frac{5}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$$

Оба значения подходят.

Ответ: $$\frac{3}{7}$$ или $$\frac{44}{48}$$