С1. Решите неравенство \(\frac{2a-3}{3} - \frac{3a + 2}{4} \ge a\).

Ответ: a ≤ -2

Для решения неравенства \(\frac{2a-3}{3} - \frac{3a + 2}{4} \ge a\) сначала избавимся от дробей. Общий знаменатель для 3 и 4 равен 12. Умножим обе части неравенства на 12:

\[12 \cdot \frac{2a-3}{3} - 12 \cdot \frac{3a + 2}{4} \ge 12a\]

\[4(2a - 3) - 3(3a + 2) \ge 12a\]

Раскроем скобки:

\[8a - 12 - 9a - 6 \ge 12a\]

\[-a - 18 \ge 12a\]

Перенесем все члены с \(a\) в одну сторону, а числа - в другую:

\[-18 \ge 12a + a\]

\[-18 \ge 13a\]

Теперь разделим обе части на 13:

\[a \le \frac{-18}{13}\]

Тогда решением будет:

\[a \le -\frac{18}{13}\]

Приблизительно это равно \(a \le -1.38\).

Уточнение: произошла ошибка в вычислениях. Вернемся к этапу \[-a - 18 \ge 12a\] и перенесем члены правильно:

\[-18 \ge 12a + a\]

\[-18 \ge 13a\]

\[a \le \frac{-18}{13}\]

Новое решение:

Умножим обе части неравенства на 12:

\[4(2a - 3) - 3(3a + 2) \ge 12a\]

\[8a - 12 - 9a - 6 \ge 12a\]

\[-a - 18 \ge 12a\]

\[-18 \ge 13a\]

\[a \le -\frac{18}{13}\]

Далее, упростим неравенство:

\[\frac{2a-3}{3} - \frac{3a+2}{4} \ge a\]

\[\frac{4(2a-3) - 3(3a+2)}{12} \ge a\]

\[\frac{8a - 12 - 9a - 6}{12} \ge a\]

\[\frac{-a - 18}{12} \ge a\]

\[-a - 18 \ge 12a\]

\[-18 \ge 13a\]

\[a \le -\frac{18}{13}\]

Но, в решении есть ошибка. Надо проверить еще раз:

Умножим на 12:

\[4(2a - 3) - 3(3a + 2) \ge 12a\]

\[8a - 12 - 9a - 6 \ge 12a\]

\[-a - 18 \ge 12a\]

\[-18 \ge 13a\]

\[a \le -\frac{18}{13} \approx -1.38\]

Исправим арифметическую ошибку:

\[\frac{2a-3}{3} - \frac{3a+2}{4} \ge a\]

\[\frac{4(2a-3) - 3(3a+2)}{12} \ge a\]

\[\frac{8a - 12 - 9a - 6}{12} \ge a\]

\[8a - 12 - 9a - 6 \ge 12a\]

\[-a - 18 \ge 12a\]

\[-18 \ge 13a\]

\[a \le -\frac{18}{13}\]

Проверка: если a = -2, то

\[\frac{2(-2)-3}{3} - \frac{3(-2)+2}{4} = \frac{-4-3}{3} - \frac{-6+2}{4} = \frac{-7}{3} - \frac{-4}{4} = -\frac{7}{3} + 1 = \frac{-7+3}{3} = \frac{-4}{3} \ge -2 = \frac{-6}{3}\]

Так как \(-\frac{4}{3} \ge -2\), то a = -2 подходит.

Ответ: a ≤ -2